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　　文章簡(jiǎn)介

　　問(wèn)題：What are the different types of mathematics found in quantitative finance?

　　作者：Pual Wilmott

　　問(wèn)：量化金融分析師AQF丨量化金融中有哪些數(shù)學(xué)知識(shí)?

　　簡(jiǎn)答：數(shù)量金融中最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)是概率論和微分方程。此外，當(dāng)我們產(chǎn)生數(shù)時(shí)通常需要用到數(shù)值方法。舉例：期權(quán)定價(jià)的經(jīng)典模型可以被寫成偏微分方程，與此同時(shí)，以期望的角度去看，也有概率論上的釋義。

　　詳解：現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，數(shù)量金融也使用了很多數(shù)學(xué)的分支。很多金融模型可以用各種各樣的方式實(shí)現(xiàn)。

　　出于某些原因，不同分支的數(shù)學(xué)的倡議者在討論他們及對(duì)手的方法論時(shí)相當(dāng)?shù)拿舾?。比如常常?huì)有以下?tīng)?zhēng)議：這是不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的特殊問(wèn)題嗎?鞅和微分方程的優(yōu)劣有哪些?后文中嘗試從建模方法及現(xiàn)實(shí)中有用的工具兩個(gè)維度對(duì)量化金融中的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行介紹。

　　一、以下是常用的建模方法及其簡(jiǎn)單說(shuō)明：

　　1. 概率論的方法

　　金融市場(chǎng)的主要假設(shè)之一是資產(chǎn)的價(jià)格產(chǎn)生機(jī)制是隨機(jī)的。我們?cè)噲D認(rèn)為價(jià)格變量服從某個(gè)隨機(jī)路線，并且設(shè)定資產(chǎn)價(jià)格變量的增長(zhǎng)速度以及它的隨機(jī)程度的參數(shù)。通過(guò)一個(gè)確定的平均增長(zhǎng)速率，以及一個(gè)從平均水平上的偏離來(lái)有效地對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的路徑進(jìn)行建模。這個(gè)建模方法在過(guò)去的30年有巨大的影響，并引領(lǐng)了衍生品市場(chǎng)的一個(gè)爆炸式增長(zhǎng)。

　　2. 決定論的方法

　　這個(gè)方法后的思想是模型會(huì)告訴我們關(guān)于未來(lái)的一切。給定足夠的數(shù)據(jù)和算力，我們可寫下可預(yù)測(cè)未來(lái)的等式或算法。

　　有趣的是，動(dòng)力系統(tǒng)和混沌理論的研究歸屬于這個(gè)分類?；煦缋碚撝赋?，在實(shí)際中根據(jù)不同的初始狀態(tài)提出不同的預(yù)測(cè)是不可能的。典型的例子是蝴蝶效應(yīng)：在巴西某地的一只蝴蝶扇動(dòng)翅膀?qū)?huì)導(dǎo)致曼徹斯特的降雨。試想，相去甚遠(yuǎn)的這兩個(gè)事件都存在著某種聯(lián)系，那么又有哪兩個(gè)事件不存在聯(lián)系呢?該話題在1990年代盛行，但金融世界沒(méi)有達(dá)到該理論的前提條件，因此這方面的發(fā)展較少。

　　3. 離散方法：差分方程

　　4. 連續(xù)方法：微分方程

　　無(wú)論是概率論還是決定論，最終你寫下的模型或是離散或是連續(xù)，二者之一。離散意味著資產(chǎn)的價(jià)格或者時(shí)間只能增加有限的量，比如說(shuō)一美元、一美分，或者是一年、一天。連續(xù)意味著不存在這樣的增量下限。數(shù)學(xué)中，連續(xù)過(guò)程往往比離散過(guò)程容易得多，但是當(dāng)提到數(shù)值計(jì)算時(shí)，你將須把連續(xù)模型轉(zhuǎn)變成離散模型。

　　離散模型我們通常使用差分方程。一個(gè)例子：期權(quán)定價(jià)時(shí)的二叉樹模型，再比如：時(shí)間以有限的增量前進(jìn)，即時(shí)間上的步長(zhǎng)。在連續(xù)模型中，我們通常使用微分方程。與離散方式下的二叉樹模型相對(duì)的是Black–Scholes模型，設(shè)定了連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格和連續(xù)的時(shí)間。無(wú)論是二叉樹模型還是Black–Scholes模型，都來(lái)自于對(duì)現(xiàn)實(shí)金融世界的概率假設(shè)。

　　二、以下是在現(xiàn)實(shí)中有用的工具及其簡(jiǎn)單說(shuō)明：

　　1. 數(shù)值模擬

　　如果金融世界是隨機(jī)的，那么我們能通過(guò)模擬試驗(yàn)來(lái)描述未來(lái)的情況。比如，資產(chǎn)價(jià)格可以通過(guò)其平均增長(zhǎng)率和風(fēng)險(xiǎn)來(lái)描述。當(dāng)我們進(jìn)行模擬時(shí)，我們會(huì)進(jìn)行大量次數(shù)的模擬，且愿意看到足夠多可能的未來(lái)的情境。

　　模擬也可以用于非概率問(wèn)題。僅由于數(shù)學(xué)等式間的相似性，由決定論方法推出的模型可能有概率意義上的解釋。

　　2. 離散化方法

　　模擬方法的補(bǔ)充方法，并且有很多種類型。最著名的比如有限差分法。在實(shí)際數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，通常都會(huì)把解決的問(wèn)題化簡(jiǎn)為模擬問(wèn)題或有限差分問(wèn)題。

　　3. 近似

　　在建模過(guò)程中我們通常想要提出一個(gè)有意義的解，比如說(shuō)期權(quán)的價(jià)格。事實(shí)上，除非模型非常簡(jiǎn)單，我們得到這個(gè)解不那么容易，這就是“近似”理論的作用所在。一個(gè)復(fù)雜的模型往往有近似解，并足夠滿足我們的目的。

　　4. 漸近分析

　　在大多數(shù)應(yīng)用數(shù)學(xué)中都有其身影且是非常有用的理論，但近些年來(lái)才在金融中得到應(yīng)用。背后的思想是：通過(guò)不斷嘗試或大或小的參數(shù)和變量，最終找到復(fù)雜問(wèn)題的近似解。如，對(duì)vanilla期權(quán)臨近到期時(shí)的價(jià)值做近似。

　　5. 級(jí)數(shù)解

　　如果等式是線性的，那么你可能可以通過(guò)加總其它問(wèn)題的解來(lái)解決一個(gè)特殊問(wèn)題。級(jí)數(shù)解是指，將解分解成簡(jiǎn)單方程的加總，比如sin、cos，冪級(jí)數(shù)等。比如，障礙期權(quán)有兩個(gè)障礙，一個(gè)在當(dāng)前資產(chǎn)價(jià)格之下，另一個(gè)在當(dāng)前資產(chǎn)價(jià)格之上。

　　6. 格林函數(shù)

　　一個(gè)只在特殊情境中會(huì)使用的特殊技巧。背后的思想是，對(duì)一個(gè)困難問(wèn)題的解可以從相似問(wèn)題的特殊解中建立。

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