時(shí)間序列是很多小伙伴在學(xué)習(xí)FRM一級(jí)第二門(mén)課《定量分析》時(shí)過(guò)不去的坎，知識(shí)點(diǎn)又多又雜，而且似乎關(guān)聯(lián)度不高。今天小編就舉一個(gè)切實(shí)的案例，帶著大家領(lǐng)略一下基礎(chǔ)的時(shí)間序列建模方法與思路。
這里我們將要介紹的是一套完整的對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析建模的流程，也就是Box-Jenkins方法。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，該方法一共包括五個(gè)階段：
階段一：判斷時(shí)間序列是否協(xié)方差平穩(wěn)
階段二：判斷合適的模型用于分析
階段三：估計(jì)模型的未知參數(shù)
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階段四：對(duì)模型進(jìn)行分析評(píng)估
階段五：使用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)
假設(shè)我們當(dāng)前有一組股票指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)，而我們的目的是去對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行建模、進(jìn)而展開(kāi)對(duì)于股票指數(shù)收益率的預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)圖示如下：
首先，單從數(shù)據(jù)本身的圖像上來(lái)看，收益率似乎一直圍繞著0%左右上下波動(dòng)。換言之，這組數(shù)據(jù)的期望值很有可能是一個(gè)常數(shù)。同時(shí)，我們還可以看出這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)也幾乎一直處于的區(qū)間之內(nèi)，意味著其方差很有可能也是一個(gè)常數(shù)。對(duì)于序列的自協(xié)方差，單靠數(shù)據(jù)本身的圖像是無(wú)法看出的，但是小編可以負(fù)責(zé)任地告訴大家（也是提前劇透一下），若一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出上圖的特征，那么基本上就是協(xié)方差平穩(wěn)的了！接下來(lái)，我們引入自相關(guān)函數(shù)（ACF）與偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）來(lái)繼續(xù)佐證：
實(shí)證經(jīng)驗(yàn)表明，非平穩(wěn)的時(shí)間序列往往具有居高不下的ACF，且一階滯后的偏自相關(guān)系數(shù)非常接近于1；與之對(duì)應(yīng)的，平穩(wěn)的時(shí)間序列的ACF往往會(huì)迅速向0衰減，且一階滯后的偏自相關(guān)系數(shù)也不會(huì)非常接近于1。根據(jù)圖中的信息，我們認(rèn)為這組對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)是協(xié)方差平穩(wěn)的。詳細(xì)來(lái)說(shuō)，前兩階滯后的自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)都是顯著不為0的，而更高階滯后的系數(shù)也偶有顯著。
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既然數(shù)據(jù)是協(xié)方差平穩(wěn)的，那么我們就可以開(kāi)始使用ARMA模型去對(duì)其進(jìn)行建模了。在建模之前，我們先來(lái)看看Box-Jenkins方法提出的一個(gè)所謂Parsimony（簡(jiǎn)約）的概念：盡管復(fù)雜的模型理論上更為先進(jìn)，但實(shí)證研究表明簡(jiǎn)約的模型往往對(duì)數(shù)據(jù)的擬合更好。因此，我們往往不會(huì)將模型的滯后階數(shù)設(shè)置得過(guò)多。在本案例中，我們選取滯后階數(shù)為兩階及兩階以?xún)?nèi)的模型進(jìn)行估計(jì)：AR(1),AR(2),MA(1),MA(2),ARMA(1,1),ARMA(1,2),ARMA(2,1),以及ARMA(2,2)。舉個(gè)例子，ARMA(1,1)模型的輸出結(jié)果為：
在得到這些模型的估計(jì)結(jié)果后，我們應(yīng)先使用Box-Pierce檢驗(yàn)或Ljung-Box檢驗(yàn)來(lái)推斷模型的誤差項(xiàng)是否存在自相關(guān)：如果有，那么模型并未捕捉到數(shù)據(jù)中全部的“動(dòng)態(tài)”，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行修正（比如加入更多的滯后項(xiàng)）。幸運(yùn)的是，對(duì)這8個(gè)模型進(jìn)行檢驗(yàn)后，我們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有一個(gè)模型的誤差項(xiàng)在統(tǒng)計(jì)意義上存在自相關(guān)現(xiàn)象。還是以ARMA(1,1)為例，檢驗(yàn)結(jié)果如下：
接下來(lái)，對(duì)于這8個(gè)模型，我們需要選出一個(gè)“最優(yōu)”的模型來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，而這就要用到我們課上學(xué)過(guò)的信息準(zhǔn)則：AIC和SIC了（可以在模型輸出結(jié)果中看到）。這些信息準(zhǔn)則是通過(guò)模型的樣本內(nèi)估計(jì)誤差來(lái)推斷模型的預(yù)測(cè)誤差的，其取值越低，意味著模型的樣本內(nèi)估計(jì)誤差越小、模型越適用于預(yù)測(cè)。在本案例中，ARMA(1,1)模型的AIC與SIC都是最小的，所以我們最終選擇ARMA(1,1)模型來(lái)對(duì)股票指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。值得注意的是，AIC與SIC對(duì)于模型的選擇有時(shí)并不是一致的。實(shí)證研究表明，在選擇用于預(yù)測(cè)的模型時(shí)，SIC往往是更適用的信息準(zhǔn)則。
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