秦同學(xué)
2025-10-31 23:37老師，B選項(xiàng)可以再講一下嗎？為什么加一個(gè)無(wú)關(guān)變量的話R平方會(huì)上升，adjusted R平方會(huì)下降呢？以及C選項(xiàng)也麻煩再解釋一下
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1個(gè)回答
黃石助教
2025-11-03 10:00
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同學(xué)你好。
R^2 = ESS/TSS = 1 - RSS/TSS。當(dāng)往模型中額外增添一個(gè)新變量時(shí)，就算該變量只有一點(diǎn)解釋力度，模型的ESS也會(huì)有所上升、RSS也會(huì)有所下降（只不過(guò)上升/下降的幅度很小），故R^2會(huì)上升。Adjusted R^2 = 1 - (RSS/n - k - 1)/(TSS/n - 1)，其中k是解釋變量的個(gè)數(shù)。隨著新變量的引入，RSS會(huì)有所下降（這會(huì)使得Adjusted R^2上升），但k會(huì)有所上升（這會(huì)使得Adjusted R^2下降）。如果新變量解釋力度很低，那么k上升的幅度與平時(shí)無(wú)異，但RSS下降的幅度很小，使得Adjusted R^2整體來(lái)看會(huì)下降。
如果新增添的變量是無(wú)關(guān)變量的話，那么情況又會(huì)有所不同。理論上，無(wú)關(guān)變量對(duì)于Y的解釋力度為0，所以在模型中引入無(wú)關(guān)變量不會(huì)抬升ESS，故R^2不會(huì)發(fā)生變化。Adjusted R^2中由于k上升，其取值會(huì)下降。不過(guò)現(xiàn)實(shí)世界中很難找到完全無(wú)關(guān)的變量，所以增添新的變量基本都會(huì)使得R^2上升，而Adjusted R^2的變動(dòng)則取決于新增添的變量的解釋力度有多少。
對(duì)于C，首先R^2不可能為負(fù)，因?yàn)镋SS + RSS = TSS的存在，R^2的取值必然在(0, 1)之間。Adjusted R^2的公式中額外引入了RSS和TSS的自由度，故其取值范圍不再受到這一限制、可以為負(fù)。
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