189****6890
2022-06-23 22:57notes講到T分布時候有一道練習(xí)題： which of the following is not a property of t-distribution? A.as the degree of freedom get larger, the variance approaches zero. B. it is defined by single parameter, the degree of freedom C. it has more probability in the tails and less at the peak than a standard distribution 為什么A不對，假設(shè)樣本量增大到無限，到時候方差不就變成0了嗎？
所屬：CFA Level I > Quantitative Methods 視頻位置 相關(guān)試題
來源： 視頻位置 相關(guān)試題
1個回答
Evian, CFA助教
2022-06-24 09:10
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ヾ(?°?°?)??你好同學(xué)，
隨著樣本容量增加，t學(xué)生分布會趨近于正態(tài)分布（我們接觸的正態(tài)分布方差一般不為0）
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學(xué)而時習(xí)之，不亦說乎??【點贊】鼓勵自己更加優(yōu)秀，您的聲音是我們前進的源動力，祝您生活與學(xué)習(xí)愉快!~
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追問
"t學(xué)生分布的方差不會趨近于0"，那在n增大的時候它會趨近于。。？
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追答
t學(xué)生分布會因為樣本容量的增大趨近于正態(tài)分布，它的方差也會趨近于正態(tài)分布的方差
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追問
但就是不趨近于0？
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追答
嗯嗯，是的。
一組數(shù)據(jù)方差趨近于0，說明所有數(shù)據(jù)圍繞一個數(shù)值（均值）在波動，極限狀態(tài)就是說有數(shù)據(jù)沒有波動，直接等于均值。
我們?yōu)槭裁垂烙嬆?？因為研究總體的時候，不能拿到所有總體，只能抽樣，這意味著數(shù)據(jù)有限。
如果我們拿到的n趨近于無窮，此時拿到的就是總體本身了~ -
追問
“t學(xué)生分布會因為樣本容量的增大趨近于正態(tài)分布，它的方差也會趨近于正態(tài)分布的方差”前半句看懂了，后半句，
你的意思是不是說在自由度不斷增大的情況下，t分布的方差趨近于總體的方差？ -
追答
嗯嗯是的
隨著樣本容量的增加，t學(xué)生分布最終變成了正態(tài)分布，所有的指標都是正態(tài)分布的指標 -
追問
t分布的方差不是要用樣本方差σ2除以n-1嗎？
那么n在增大以后t分布的方差不應(yīng)該是越來越小嗎，怎么會越來越接近樣本方差呢？ -
追答
如果隨機變量Xi服從正態(tài)分布（z分布），那么可以寫成：X~N(μ，σ2)，u是總體均值，σ2是總體方差，此時研究的是“隨機變量Xi”
當樣本容量n逐步上升，t學(xué)生分布是趨近于正態(tài)分布的一個分布，如圖，紅色表示t學(xué)生分布，隨著n的增大（自由度df=n-1也增大），紅色線趨近于黑色線（正態(tài)分布） -
追答
補充：
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追答
以上過程都不需要掌握，需要掌握結(jié)論：
隨著樣本容量的增加，t學(xué)生分布最終變成了正態(tài)分布，所有的指標都是正態(tài)分布的指標 -
追問
所以寫了這么多還是沒說t分布的方差不應(yīng)該隨著n增大接近樣本方差吧？
t分布的均值的分布接近正態(tài)分布，均值本身接近樣本均值，但是t的方差只會越來越小不會越來越像樣本方差。
什么時候樣本的方差的分母n要-1以及要-2也是我另外一個一直記不清的地方，
有沒有什么口訣？ -
追答
我現(xiàn)在明白你的意思了，我們這樣來順一下：
對于一個未知形態(tài)的總體研究，此時抽樣，每一個樣本的均值可以組成一組“樣本均值組”，這組數(shù)據(jù)服從t分布，隨著n的增加，t分布趨近于正態(tài)分布，t分布的方差趨近于正態(tài)分布的方差。
重要的結(jié)論是：你一開始說的情況是對的，n取無窮大時，t分布的方差≈正態(tài)分布的方差≈0
但這個時候出現(xiàn)了另一種情況，n既然無窮大，說明你已經(jīng)掌握了總體，沒有必要抽樣估計了 -
追答
在CFA一級中涉及計算的部分，對于單個均值的檢驗，df是n-1，對于相關(guān)系數(shù)的檢驗是n-2。
原理可以了解一下（如下附圖）：
對于單個均值的檢驗，當數(shù)據(jù)中引入了“樣本均值”，有效數(shù)字少一個，剩余有效數(shù)字為n-1個；
對于相關(guān)系數(shù)的檢驗，有兩組數(shù)據(jù)，有兩個“樣本均值”，相當于少了兩個有效數(shù)字，有效數(shù)值剩余n-2 -
追答
補充如下附圖，對Y的檢驗也用n-2
如果對單個均值來做檢驗，自由度為n-1
如果對Y本身來做檢驗，自由度為n-1
現(xiàn)在用X自變量對Y本身來做檢驗，自由度為n-2 -
追問
對于n要不要-1，我主要的提問是針對在題目給了樣本方差和樣本標準差的時候，那個西格瑪每次要除以更號下n的時候，每次都很亂，不知道要不要-1還是不用直接開更號，所以在問有沒有口訣，最好能幫我理清一下思路什么時候更號要開n什么時候更號下要開n-1
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追答
求第二個樣本方差的時候是n-1，其他兩個公式都用n
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追問
確認一下有沒有看懂，所有求樣本標準誤的，都不用擔心分母要根號下n-1，全都是根號n對嗎？只有在求樣本方差的時候，用總體方差的數(shù)據(jù)要除以根號下n-1對嗎？
前面解釋自由度的問題沒有看懂，舉個例子是1，2，3，4， 平均數(shù)是2.5，如果我引入這個數(shù)列的4個數(shù)據(jù)1-4，只有4個，并沒有引入5個數(shù)據(jù)，并沒有引入2.5這個數(shù)，那么怎么算少了一個呢？ -
追答
確認一下有沒有看懂，所有求樣本標準誤的，都不用擔心分母要根號下n-1，全都是根號n對嗎？只有在求樣本方差的時候，用總體方差的數(shù)據(jù)要除以根號下n-1對嗎？
【回復(fù)】嗯嗯是的
前面解釋自由度的問題沒有看懂，舉個例子是1，2，3，4， 平均數(shù)是2.5，如果我引入這個數(shù)列的4個數(shù)據(jù)1-4，只有4個，并沒有引入5個數(shù)據(jù)，并沒有引入2.5這個數(shù)，那么怎么算少了一個呢？
【回復(fù)】自由度是可以自由變動的數(shù)據(jù)個數(shù)，如果樣本容量為n，自由變動的數(shù)字為n，抽多少個樣本數(shù)據(jù)的數(shù)值都是可以自由變動的。
我們現(xiàn)在引入了X拔，此時第一個樣本和第n-1個樣本都是可以自由變動的，第n個/最后一個樣本數(shù)據(jù)是固定不可自由變動的，因為其余樣本和均值都已經(jīng)確定了 -
追問
什么是引入了Y拔？而且課上講2組數(shù)據(jù)關(guān)系的時候，比如那些相關(guān)系數(shù)的估算，
n要-2，說是有2組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以一直舉的例子是“有2個平均數(shù)”，“有2個平均數(shù)”，
所以樣本少2個數(shù)據(jù)bla bla，但是就拿我舉的例子，明明采樣數(shù)據(jù)只有1-4，4個整數(shù)，平均數(shù)2.5并不是采樣組里的
任何一個單獨樣本數(shù)值，何來“少一個樣本”呢？ -
追答
1.自由度：自由變動的數(shù)字
2.樣本容量：用n表示
3.所有抽樣數(shù)值是隨機變量=n個自由變動的數(shù)字
4.從第一個抽，到第四個抽，第一個到第四個樣本數(shù)值都是可以自由變動的，于是自由度現(xiàn)在是n=4
5.引入均值X拔（和你說的Y拔沒有關(guān)系）這個數(shù)值，說明我們已經(jīng)知道X拔的大小是多少
6.當n=4時，從第一個抽，到第三個抽，第一個到第三個樣本數(shù)值都是可以自由變動的
7.但是這個樣本的均值已經(jīng)確定為X拔，所以第四個樣本數(shù)據(jù)不是自由變動的數(shù)字，第四個樣本數(shù)據(jù)可以由“前三個樣本數(shù)字和X拔”表示出來，于是自由度現(xiàn)在是n-1=4-1=3 -
追問
首先想搞清楚這個從1-4抽是干什么，1，2，3，4不是已經(jīng)是從一個大的數(shù)字池里抽4個樣本的結(jié)果了嗎？
我不是從1-4里面抽樣啊。
另外，按照1-3已抽所以最后一個就必定知道的意思來說，前提就是要我抽出過的1-3是不放回去的才能推算出來最后剩的什么吧？ -
追答
對呀，從總體中抽n個樣本，這個時候樣本隨意抽
一旦確定樣本均值，那么樣本就不能隨意抽，最后一個樣本數(shù)據(jù)是特定的
不限制抽樣是放回還是不放回 -
追問
?????????????????????????
"一旦確定樣本均值，那么樣本就不能隨意抽，"
為什么一旦確認樣本均值樣本就不能隨意抽？
還有我如果已經(jīng)求出了樣本均值（假設(shè)抽的次數(shù)合理），為什么還要抽樣？ -
追答
這是理解“自由度”的角度
不是抽樣的順序 -
追問
所以。。。。。為什么一旦確認樣本均值樣本就不能隨意抽？
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追答
可以隨意抽：“第1個~第n-1個”
最后一個數(shù)字是不可以隨機抽的（最有一個數(shù)字是第n個數(shù)字） -
追問
這和你前面說的前提“一旦確認樣本均值”又有什么關(guān)系？
抽4個樣本自由度是3，抽20個樣本自由度是19，和知不知道平均數(shù)有什么關(guān)系？ -
追答
假設(shè)總體是全國人的身高為總體。
當樣本容量為n=4時，假設(shè)隨機抽的結(jié)果是：175cm、176cm、169cm、159cm
當樣本容量為n=4時，此時均值為170cm，隨機抽樣的結(jié)果是：175cm、176cm、169cm，但是最后一個樣本結(jié)果是確定的：4x170cm-(175cm-176cm-169cm)=160cm
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